Zbiór Julii
Zbiór Julii i zbiór Fatou – dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.
Zbiór Julii funkcji f jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou, którzy w latach 1918–1920 badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.
Przykład zbioru Julii
Definicja
Niech f(z) będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespolona na nią samą, tj. f(z)=p(z)/q(z) gdzie p(z) i q(z) są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów Fi,i=1,...,r, które są niezmiennicze przez f(z) i są takie, że:
- suma zbiorów Fi jest zbiorem gęstym i
- f(z) zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów Fi.
Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów Fi są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający”, a w drugim „neutralny”.
Zbiory Fi są dziedziną Fatou funkcji fz a ich suma jest zbiorem Fatou F(f) funkcji f(z) Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny f(z) tj. (skończony) punkt z spełniający f'(z)=0 lub z=nieskończoność, jeśli stopień wielomianu licznika p(z) jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika q(z) lub jeśli f(z)=1/g(z)+c dla pewnej stałej c i funkcja g(z) spełnia ten warunek.
Dopełnienie zbioru F(f) nazywa się zbiorem Julii J(f) funkcji f(z) Zbiór J(f) jest nigdzie gęsty (nie zawiera punktów wewnętrznych) i nieprzeliczalny (jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych). Oba zbiory F(f) i J(f) są w pełni niezmiennicze.
Własności
Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli c należy do zbioru Mandelbrota. Jeśli zbiór Julii jest poza zbiorem Mandelbrota, składa się on ze zbioru rozproszonych punktów, taki zbiór nazywany jest pyłem Fatou.